Thema der Unterrichtseinheit: Zentrische Streckungen und Flächensätze

Thema der Unterrichtsstunde: Längenberechnungen an der Pyramide

 

Ziele der Stunde: Ich möchte erreichen, dass die Schülerinnen und Schüler

 

  1. den Lösungsweg eines gegebenen Berechnungsproblems in kleinen Gruppen anhand eines Pyramidenmodells auffinden (Sach-, Methoden- und Sozialkompetenz),
  2. die Vorgehensweise zur Berechnung der Summe der Dreiecksflächen einer quadratischen Pyramide bei gegebener Höhe und Grundseite darstellen (Selbstkompetenz),
  3. die Summe der Dreiecksflächen berechnen (Sach- und Methodenkompetenz),
  4. eine allgemeine Formel zur Berechnung der Summe der Dreiecksflächen herleiten und diese anschließend an einem neuen Problem anwenden (Sach- und Methodenkompetenz),
  5. ihre Ergebnisse vorstellen (Selbstkompetenz),
  6. (fakultativ) den Lösungsweg eines weiteren Berechnungsproblems im Zusammenhang mit einer Pyramide auffinden (Sach- und Methodenkompetenz).

 

Bemerkungen zur Didaktik

 

Bei vielen Anwendungen in der Mathematik und den Naturwissenschaften kommen die Flächensätze zum Tragen. So wird auch erst in den Anwendungsaufgaben die zentrale Bedeutung des Satzes des Pythagoras deutlich. Dies hebt auch der Lehrplan, in dem für die neunte Klasse das Thema "Flächensätze am Dreieck" vorgesehen ist, hervor (vgl. [3], S. 73).

Im letzten Schulhalbjahr sind die Themen "Irrationalität", "quadratische Funktionen" und "quadratische Gleichungen" behandelt worden. Nach einer Vertiefung der quadratischen Gleichungen wurde vor vier Wochen ¾ beginnend mit dem Satz des Pythagoras ¾ in das Thema "Flächensätze am Dreieck" eingeführt. Anwendungsprobleme in der Ebene sind bereits behandelt worden. Im Anschluss an die Thematisierung des Katheten- und des Höhensatzes wurden in den letzten Stunden Flächenverwandlungen und kleine Konstruktionen durchgeführt. Abschließend will ich mit der Lehrprobenstunde, auch in Hinblick auf die anstehende Klassenarbeit, noch einmal den Satz des Pythagoras, nun jedoch im Zusammenhang mit räumlichen Problemen, aufgreifen.

In den Schulbüchern findet man zwei Möglichkeiten, in räumliche Probleme einzuführen. Die Berechnung der Raumdiagonalen eines Würfels oder eines Quaders (vgl. [2], S. 75 und [4], S. 65) stellt eine Möglichkeit dar, bei der die zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras erforderlich ist. Eine Alternative ist durch die Berechnung der Höhe eines Flächendreiecks einer quadratischen Pyramide bei gegebener Pyramidenhöhe und Grundseite gegeben (vgl. [5], S. 64). Ich habe mich für die zweite Möglichkeit entschieden, da die Pyramide für die Schülerinnen und Schüler als mathematischer Gegenstand unbekannter und damit interessanter ist als der Quader oder der Würfel, zumal das Problem der Raumdiagonalen dem bereits bekannten Problem der Flächendiagonalen ähnelt. Die Tatsache, dass zur Berechnung der Raumdiagonalen zweimal der Satz des Pythagoras angewendet werden muss, macht diese Aufgabe nicht unbedingt anspruchsvoller, da die Hauptschwierigkeit darin besteht, ein rechtwinkliges Dreieck im Raum zu finden, was bei der Pyramidenaufgabe ebenso der Fall ist.

Infolgedessen sollen die Schülerinnen und Schüler in der Lehrprobenstunde die Summe des Inhalts der vier Flächendreiecke einer quadratischen Pyramide, deren Höhe h und Grundseite a gegeben ist, berechnen, wofür sie die Höhe hD eines Flächendreiecks ermitteln müssen. Hier soll die Lösung durch so genanntes Rückwärtsarbeiten gefunden werden, wobei von der gesuchten Zielgröße (Flächeninhalt) ausgegangen wird und nach Größen gesucht wird, aus denen man die Zielgröße berechnen kann (vgl. [6], S. 101 f.). Ich erwarte, dass die Schülerinnen und Schüler selbst erkennen, dass sie zur Lösung der Aufgabe die Höhe hD der Flächendreiecke brauchen, um zum Resultat zu gelangen. Hierbei sind zwei Wege denkbar: Aus dem Dreieck mit den Seitenlängen hD, h und a/2 kann mit dem Satz des Pythagoras die Seite hD berechnet werden. Einige Schülerinnen und Schüler haben aber möglicherweise die Idee, aus dem Dreieck, welches aus der Seitenkante s der Pyramide, der Höhe h und der halben Quadratdiagonalen besteht, die Seite s zu berechnen, um damit dann aus dem Dreieck mit den Seitenlängen s, hD und a/2 die Höhe hD auszurechen. Ein Vergleich der beiden Lösungswege bietet sich hier an.

 

In dieser Stunde werden die Schülerinnen und Schüler das erste Mal mit einem räumlichen Problem konfrontiert, so dass das gestellte Problem für die Klasse eine Herausforderung ist. Wie bei allen Problemen, die im Zusammenhang mit den Flächensätzen betrachtet werden, geht es darum, ein geeignetes rechtwinkliges Dreieck zu finden. In der Stunde wird das räumliche Vorstellungsvermögen der Schülerinnen und Schüler angesprochen. Sie müssen gedanklich ein rechtwinkliges Dreieck in die Pyramide legen, so dass die Hypotenuse der Höhe eines Flächendreiecks oder der Seitenkante der Pyramide entspricht. Dieser abstrakte Schritt ist für die Schülerinnen und Schüler neu, da bei bisher behandelten Anwendungen lediglich rechtwinklige Dreiecke innerhalb einer ebenen Figur gefunden werden mussten. Im Erkennen dieses Dreiecks liegt ein erster Höhepunkt der Stunde.

Da ein Großteil der Klasse eine Scheu vor Termen mit Variablen hat, habe ich mich entschieden, zunächst die Lösung für eine konkret gegebene Pyramide berechnen zu lassen, denn "die zusätzlichen Schwierigkeiten bei der Lösung des allgemeinen Berechnungsproblems liegen in den durchzuführenden Termumformungen." ([6], S. 99). Im vorliegenden Fall sind zwar keine Termumformungen notwendig, es wird aber gerade den schwächeren Schülerinnen und Schülern leichter fallen, den gefundenen Lösungsweg der speziellen Berechnung anschließend auf das allgemeine Berechnungsproblem zu übertragen. Die Aufstellung einer allgemeinen Formel ist sinnvoll, wenn sie anschließend angewendet wird. Demzufolge sollen die Schülerinnen und Schüler ermitteln, wie hoch eine quadratische Pyramide bei gegebener Grundseite a und Summe A der Dreiecksflächen ist. Hierzu müssen die Schülerinnen und Schüler die Gleichung nach h auflösen, was für den Großteil der Klasse eine zwar anspruchsvolle, aber realisierbare Aufgabe darstellt. Interessant ist hierzu die Frage, wie groß der Inhalt der Dreiecksflächen mindestens sein muss, damit sich eine quadratische Pyramide mit einer bestimmten Grundseite bauen lässt, da sich die Antwort sofort aus der Anschauung ergibt und an der Formel überprüft werden kann.

Bei ausreichender Zeit können die Berechnungen an Pyramiden durch ein Problem abgeschlossen werden, bei dem das rechtwinklige Dreieck, welches aus der Seitenkante s der Pyramide, der Höhe h und der halben Quadratdiagonalen besteht, gefunden werden muss.

Nach der Lehrprobenstunde soll die Raumdiagonale eines Quaders und die anspruchsvolle Kugelpyramide das Thema "Flächensätze am Dreieck" abschließen.

 

Bemerkungen zur Methode

 

Zum Einstieg zeige ich den Schülerinnen und Schülern ein Bild der Glaspyramide, die den Eingang des Louvre in Paris bildet. Da diese real existierende Pyramide eine quadratische Grundfläche besitzt, eignet sie sich als Anschauungsbeispiel für die beabsichtigten Berechnungen. Ich möchte den Schülerinnen und Schülern durch diesen Einstieg Assoziationsmöglichkeiten bieten und hoffe so, die Aufmerksamkeit und Lernmotivation zu steigern (vgl. [7], S. 191). Die Schülerinnen und Schüler bekommen den Auftrag, zu überlegen, wie man die Größe der Glasfläche bestimmen kann. Die Höhe der Pyramide und die Seitenlänge der Grundkante wird bekannt gegeben. Alternativ könnte man den Stoffbedarf eines pyramidenartigen Zeltes berechnen lassen (vgl. [5], S. 64). Da solche Zelte aber nicht sehr verbreitet sind, habe ich von dieser Einstiegsmöglichkeit abgesehen.

 

Da in der Stunde die Problemlösefähigkeit angesprochen wird, ist mir die Eigentätigkeit und Selbständigkeit der Schülerinnen und Schüler in dieser Stunde besonders wichtig. Ohne weitere Vorgaben sollen sich die Schülerinnen und Schüler mit dem Problem zunächst selbst beschäftigen (Erarbeitung 1). Hierzu eignet sich meines Erachtens die Arbeit in Gruppen, da mehrere Lösungsansätze möglich sind, über die diskutiert werden kann. Jede Gruppe erhält von mir zur Anschauung eine aus Strohhalmen gebastelte Pyramide, mit deren Hilfe sich die Schülerinnen und Schüler die Lage des gesuchten Dreiecks vergegenwärtigen können und später der Lösungsweg vorgestellt werden soll. Eine dreidimensionale Zeichnung ist in dieser Phase meines Erachtens keine Alternative, da die Klasse bislang keine Schrägbilder von Pyramiden kennt. Durch das Modell wird es den Schülerinnen und Schülern in einer späteren Phase einfacher fallen, die zur Lösung benutzten Strecken auf das Schrägbild einer Pyramide zu übertragen.

In der nächsten Phase (Erarbeitung 2) stellen die Gruppen ihre Lösungsansätze vor, wobei ihnen zur Verdeutlichung der Längen und des rechtwinkligen Dreiecks das Pyramidenmodell, Hilfsstrohhalme und ein Pappdreieck zur Verfügung stehen. Nur verschiedene Lösungsstrategien werden diskutiert. Soweit es möglich ist, möchte ich mich auch in dieser Phase zurückhalten. Sollte von der Klasse jedoch kein Lösungsweg gefunden werden, muss die Lösungsstrategie im Lehrer-Schüler-Gespräch erarbeitet werden. Auch in diesem Fall war die vorher zur Gruppenarbeit verwendete Zeit (ca. 6 Minuten) meiner Meinung nach sinnvoll, da sich die Schülerinnen und Schüler mit dem Berechnungsgegenstand vertraut gemacht haben.

Um die Lage des entscheidenden rechtwinkligen Dreiecks bildhaft festzuhalten, lasse ich eine Schülerin oder einen Schüler das Dreieck in das Schrägbild einer Pyramide auf Folie einzeichnen. Dabei muss eventuell angesprochen werden, dass die Höhe der Pyramide von der Spitze zur Mitte der Grundfläche verläuft.

Zur Sicherung verteile ich zunächst den Arbeitsbogen, auf dem sich ebenfalls ein Schrägbild der Pyramide befindet. Das Schrägbild von den Schülerinnen und Schülern anfertigen zu lassen, würde den zeitlichen Rahmen der Stunde sprengen und die Erreichung der Lernziele nicht fördern.

Spätestens wenn das rechtwinklige Dreieck beschriftet an der Tafel zu sehen ist, erwarte ich, dass das Ergebnis von allen selbständig berechnet werden kann. Sofern es noch nicht geschehen ist soll demzufolge das Schrägbild auf dem Arbeitsbogen beschriftet und die Größe der Glasfläche in Still- oder Partnerarbeit berechnet werden. Die Rechnung wird von einer Schülerin oder einem Schüler an die Tafel geschrieben, während die anderen in ihrem Heft vergleichen. Die Klasse ist diese Art der Sicherung gewohnt. Ebenso soll auch die allgemeine Formel zur Berechnung der Summe der Dreiecksflächen an die Tafel geschrieben werden (Erarbeitung/Sicherung 3). Hierfür sind keine besonderen Umformungen notwendig, so dass ich keinen großen Zeitraum dafür vorgesehen habe.

Zur Beantwortung der Frage nach der Höhe der Pyramide bei festgelegter Glasfläche (siehe Aufgabe 2 auf dem Arbeitsbogen) benötigen die Schülerinnen und Schüler etwas Zeit, da die Umformungen nicht alltäglich sind (Erarbeitung 4). Für die schwächeren Schülerinnen und Schüler ist es hilfreich, wenn die Berechnung in Partnerarbeit stattfindet. Die Lösung wird auf der Tafel gesichert.

Sollte noch ausreichend Zeit zur Verfügung stehen, wird Aufgabe 2b besprochen oder Erarbeitungsphase 5 begonnen, deren Ablauf sich wie in Erarbeitungsphase 2 gestaltet.

 

 

Geplanter Stundenverlauf

Phase

Lehrer-Schüler-Aktivität

U-Form

Medien

Einstieg

L zeigt (auf Folie) Bild der Louvre-Pyramide.

L: Was ist zu sehen? S beschreiben Bild.

L: Die Pyramide besteht aus Glas. Überlegt euch, wie man die Größe der Glasfläche bestimmen kann.

LSG

OHP

Erarbeitung1

L verteilt aus Strohhalmen gebastelte Pyramiden.

S überlegen sich Lösungsstrategie.

 

GA

gebastelte

Pyramiden

Erarbeitung 2

S stellen ihre Überlegungen vor. Einigung auf eine bestimmte Lösungsstrategie. Das entscheidende Dreieck wird anhand einer Pyramide deutlich gemacht. (Wenn von den S keine Lösung kommt, ist ein LSG notwendig: L: Wie groß ist die Fläche eines Dreiecks? Welche Größe wird benötigt? ...)

L zeigt Folie mit Schrägbild einer Pyramide.

S zeichnet das entscheidende Dreieck auf der Folie ein.

S-Präsentation

 

 

 

LSG

gebastelte

Pyramiden, evtl. Pappdreieck

 

 

OHP

Sicherung 1/2

L zeichnet entsprechendes Dreieck an die Tafel. L: Wie muss man nun vorgehen, um die Größe der Glasfläche zu bestimmen?

S erläutern Vorgehensweise.

L verteilt AB. L: Zeichnet das Dreieck in die Zeichnung ein, bezeichnet die Seiten und berechnet die Größe der Glasfläche. S berechnen.

S schreibt Rechnung an die Tafel. Die anderen vergleichen.

LSG

 

 

StA/PA

S-Präsentation

Tafel

 

 

AB

 

Tafel

Erarbeitung 3

L: Ermittelt eine Formel, die bei gegebener Grundseite und Höhe die Summe der Dreiecksflächen angibt.

S bestimmen Lösung des allgemeinen Problems.

 

PA

 

Sicherung 3

S schreibt Lösung an die Tafel.

L gibt Hilfestellung oder ergänzt an der Tafel. S vergleichen.

S-Präsentation

Tafel

Stundenausstieg möglich

Erarbeitung 4

S bearbeiten vertiefende Aufgabe 2 vom AB (Welche Höhe hat die Pyramide bei einer bestimmten Glasfläche und Grundseite?).

PA

AB

Sicherung 4

S stellen Lösung an der Tafel vor. LSG, falls keine Lösung erreicht wurde. S vergleichen mit ihren Ergebnissen.

S-Präsentation/LSG

Tafel

Stundenausstieg möglich

Erarbeitung 5

S bearbeiten vertiefende Aufgabe 3 vom AB (Welche Höhe muss die Pyramide haben, damit alle Kanten gleich lang sind?)

PA

AB

Sicherung 5

Lösung oder Lösungsansatz (je nach Zeit) wird besprochen.

LSG

Tafel

Reserve/Ha

Ausführliche Bearbeitung von Aufgabe 3 des AB.

PA/LSG

AB

 

 

 

Geplantes Tafelbild

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Literatur

 

  1. Gage, Berliner: Pädagogische Psychologie (5. Auflage). Psychologie Verlags Union, Weinheim 1996.
  2. Schmid (Hrsg.): Lambacher Schweizer 9 (Ausgabe A). Ernst Klett Verlag, Stuttgart 2000.
  3. Ministerium für Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Hrsg.): Lehrplan für die Sekundarstufe I der weiterführenden allgemeinbildenden Schulen, Gymnasium-Mathematik. Kiel 1997.
  4. Tischel (Hrsg.): Spektrum der Mathematik 9. Schuljahr. Verlag Moritz Diesterweg, Frankfurt am Main 1987.
  5. H. Griesel, H. Postel (Hrsg.): Elemente der Mathematik 9. Schuljahr. Schroedel Schulbuchverlag, Hannover 1995.
  6. Holland: Geometrie in der Sekundarstufe (2. Auflage). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, Oxford 1996.
  7. Vester: Denken, Lernen, Vergessen (27. Auflage). Deutscher Taschenbuchverlag, München 2000.

 

 

 

Pyramide Mathematik 9a Hr. Fischer Goethe-Schule 07.03.2001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 1:

Die aus Glas bestehende Louvre-Pyramide ist 21,6 m hoch. Ihre Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 34,2 m.

  1. Wie groß ist die Glasfläche?
  2. Ermittle eine Formel, die bei einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche die Summe A der Dreiecksflächen in Abhängigkeit von der Höhe h und der Grundseite a angibt.

 

Aufgabe 2:

 

Auf einem Schulhof soll eine Pyramide ähnlich der Louvre-Pyramide gebaut werden. Die Länge der Grundseite soll ebenfalls 34,2 m betragen.

  1. Aus Kostengründen steht aber nur eine Glasfläche von 1200 m2 zur Verfügung. Welche maximale Höhe h kann die Pyramide haben?
  2. Möglicherweise steht weniger Glasfläche zur Verfügung. Welche Größe darf die zur Verfügung stehende Glasfläche nicht unterschreiten, damit die Pyramide gebaut werden kann?

 

Aufgabe 3:

 

Aus ästhetischen Gründen will ein Architekt eine quadratische Pyramide konstruieren, deren Seitenkanten s genauso lang sind wie die Grundseite a.

  1. Die Grundseite sowie die Seitenkanten sollen genau 34,2 m lang sein. Welche Höhe hat dann die Pyramide?
  2. Ermittle eine Formel, welche die Höhe in Abhängigkeit der Seitenlänge a angibt.