Klecksbilder                                                   Thomas Fischer

 

 

 

Thema der Unterrichtseinheit:         Geometrische Figuren und Körper I

Thema der Unterrichtsstunde:         Achsensymmetrie

 

Ziele der Stunde:            Ich möchte erreichen, dass die Schülerinnen und Schüler

 

1.       ein achsensymmetrisches Klecksbild erstellen,

2.      die Begriffe achsensymmetrisch und Symmetrieachse verstehen und anwenden können (Sach­kompetenz),

3.      feststellen, dass es Figuren mit mehreren Symmetrieachsen gibt (Sachkompetenz),

4.      in vorgegebenen Figuren Symmetrieachsen finden und einzeichnen (Sach- und Methoden­kompetenz),

5.      den mathematischen Zusammenhang zwischen symmetrischen Punkten erkennen (Sachkom­petenz),

6.      [aus vorgegebenen, „unfertigen“ Figuren achsensymmetrische Figuren erstellen (Sach- und Methodenkompetenz)].

 


Bemerkungen zur Didaktik

 

Der Lehrplan Mathematik unterteilt das Thema Geometrische Figuren und Körper I[2] in die zwei Bereiche Eigenschaften von Körpern und ebenen Figuren und Symmetrie (vgl. [1], S. 25). Im Vorunterricht wurden bereits die für die Lehrprobenstunde wichtigen Begriffe senkrecht, parallel und Abstand[3] eingeführt. In den letzten Wochen wurde das Thema Grundgrößen[4] behandelt. In der Lehrprobenstunde wird in das Thema Achsensymmetrie eingeführt. So wird bisher inhaltlich eine gewisse Abwechslung erreicht.

Laut Lehrplan sollen die Schülerinnen und Schüler „Symmetrie als besondere Eigenschaft erfah­ren“ (vgl. [1], S. 24). Dort wird nicht weiter beschrieben, inwiefern diese Erfahrungen gemacht wer­den sollen. Unter fachspezifischen Hinweisen steht lediglich: „Symmetrien sollen erkannt und achsen­symmetrische Figuren erstellt werden. Achsenspiegelungen sind nur anschaulich, nicht als mathematische Abbildung zu behandeln.“ In den Schulbüchern ist das Thema auf zwei bis maxi­mal vier Seiten einschließlich der Übungsaufgaben begrenzt (vgl. [2], [3], [4] und [5]). Der Be­griff Punktsymmetrie wird vom Lehrplan nicht erwähnt und nur in dem neuen Lehrbuch Lamba­cher Schweizer [3] vom Klett-Verlag behandelt. Meiner Meinung nach gehört die Unterscheidung zwi­schen Punkt- und Achsensymmetrie mit zur Erfahrung der besonderen Eigenschaft von Sym­metrie.

Die Begriffe Achsensymmetrie und Achsenspiegelung hängen zwar eng miteinander zusammen, man sollte hier aber unterscheiden, dass Achsensymmetrie zunächst eine Eigenschaft einer Figur ist, während Achsenspiegelung eine Abbildung darstellt. Insofern sollten die beiden Begriffe aus­einander gehalten werden. Ich habe mich dafür entschieden, in der Lehrprobenstunde den Schwer­punkt ausschließlich auf die achsensymmetrischen Figuren zu legen. Der Stellenwert der achsen­symmet­rischen Figuren darf meines Erachtens nicht unterschätzt werden. In der modernen Fest­körperphy­sik spielen Symmetrien beispielsweise bei den Kristallstrukturen eine außerordentlich wichtige Rolle. Doch nicht nur die Naturwissenschaften, sondern auch Architektur und Kunst wä­ren ohne symmet­rische Figuren nicht mehr vorstellbar.


Da der Begriff Symmetrie wahrscheinlich bereits aus der Grundschule bekannt ist (vgl. [6]), geht es mir hauptsächlich um die Begriffe achsensymmetrisch und Symmetrieachse. Eine Definition dieser Begriffe bereits im 5. Schuljahr zu erarbeiten, halte ich für sinnvoll, da die Anwendung der Begriffe für den weiteren Mathematikunterricht bis hin zu Symmetriebetrachtungen in der Ober­stufe für die Schülerinnen und Schüler hilfreich ist.

In dieser Unterrichtsstunde sollen die Schülerinnen und Schüler den Begriff der Achsensymmetrie erarbeiten. Anhand selbsterstellter Klecksbilder soll der Begriff geometrisch anschaulich entdeckt werden. Die Achsensymmetrie stellt sich dabei als das Gemeinsame der unterschiedlichen Klecksbilder heraus. Ich will schließlich erreichen, dass die Schülerinnen und Schüler in vorge­gebenen Figuren Symmetrieachsen finden und einzeichnen können. Die Feststellung, dass es Fi­guren mit mehreren Symmetrieachsen gibt, wird über die Erfahrungen aus der Grundschule hi­nausgehen und stellt damit einen ersten Höhepunkt der Stunde dar.

Es sind nun verschiedene Vertiefungen denkbar. Eine Möglichkeit wäre, die Symmetriebegriffe auf räumliche Körper auszudehnen, was jedoch die Stunde überfrachten würde. Ich halte es für angebracht, in der Einführungsstunde nur die Symmetrie in der Ebene zu betrachten, damit nicht zu viel Neues von den Kindern verstanden werden muss..

Damit sich die Symmetriebegriffe bei den Schülerinnen und Schülern einprägen möchte ich gerne das Problem stellen, eine vorgegebene Figur zu einer achsensymmetrischen Figur zu ergänzen. Dies ist für die Schüler ein neuartiges Problem. Nun müssen sie intuitiv aus der allgemeinen Defi­nition der Achsensymmetrie den speziellen mathematischen Zusammenhang einzelner symmet­rischer Punkte ableiten. Wenn die Schüler das schaffen, kann man davon ausgehen, dass sie den Symmetriebegriff „erfahren“ haben. Die Lösung des Problems führt später zur Achsenspiegelung. Der bisherige Symmetriebegriff kann jetzt genauer beschrieben werden. Zur Lösung nutzen die Schülerinnen und Schüler nämlich den Zusammenhang, dass symmetrische Punkte den gleichen Abstand zur Symmetrieachse haben. Da der Begriff Abstand bereits bekannt ist, muss nicht mehr betont werden, dass Verbindungsstrecken symmetrischer Punkte senkrecht auf der Symmetrie­achse stehen.

In den nachfolgenden Unterrichtsstunden wird der Begriff Geradenspiegelung eingeführt. Da re­gelmäßige Vielecke noch nicht ausgiebig genug behandelt wurden, ist es meines Erachtens nicht möglich, dass die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass jedes regelmäßige n-Eck n Symmet­rieachsen besitzt. In einer späteren Stunde der Unterrichtseinheit könnten die Schülerinnen und Schüler allerdings durch Betrachtung von Sternen und regelmäßigen Vielecken und Einzeichnen der Symmetrieachsen intuitiv den Zusammenhang erkennen, dass eine Figur umso „kreisähnli­cher“ bzw. „kreisscheibenähnlicher“ wird, je mehr  Symmetrieachsen sie aufweist. Schließlich kann als Höhepunkt der Unterrichtseinheit der Kreis als „symmetrischste“  Figur (in der Ebene) mit unendlich vielen Symmetrieachsen aufgefasst werden.

 

Bemerkungen zur Methode

 

Verschiedene Vorgehensweisen sind bei der Einführung in die Achsensymmetrie denkbar. Die Schülerinnen und Schüler können symmetrische Figuren konstruieren, wenn sie zuvor Spiegelun­gen an Geraden kennen lernen. Dieser Weg erscheint mir aber ungeeignet, da das selbständige Entdecken und Ausprobieren dabei zu kurz kommt. Eine andere Möglichkeit besteht darin, ver­schiedene symmetrische und nichtsymmetrische Figuren zu zeigen und Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede zu suchen, um schließlich auf die Symmetriebegriffe zu kommen. Der Nachteil be­steht hierbei aber darin, dass die Figuren dann bereits vorgegeben sind. Dadurch wird Symmetrie nicht als besondere Eigenschaft erfahren sondern wirkt eher vorgesetzt.

In der Orientierungsstufe ist die Freude am eigenen Handeln im Gegensatz zur Mittel- und Ober­stufe sehr ausgeprägt. Ein handlungsorientierter Einstieg ist demnach sehr wünschenswert.

Eine gute Möglichkeit bieten Spiegel, die an die Schülerinnen und Schüler verteilt werden, wobei die Klasse verschiedene Figuren untersucht und die Symmetriebegriffe herausarbeitet.

Als Einstieg zum Thema Achsensymmetrie habe ich mich für das erstellen von sogenannten Klecksbildern entschieden. Hierbei erstellen die Schülerinnen und Schüler selbständig Klecksbil­der, indem sie ein von mir vorgefal­tetes Blatt Papier aufschlagen, auf die Faltachse einen Tropfen Tinte geben, das Blatt wieder zu­sammenfalten, dieses glatt streichen, wieder aufschlagen und trocknen lassen. Dabei entsteht ein achsen­symmetrisches Klecksbild (in [3] auf Seite 133 abgebildet). So wird die Entstehungsweise der Bilder und damit auch der Grund für die Symmetrie am eigenen Handeln erfahren. Diese Einführung hat auch den Vorteil, dass die Schülerinnen und Schüler das Klecksbild mit nach Hause nehmen können, was beim Experimentieren mit den Spie­geln nicht möglich ist. Dieser Zugang zur Symmetrie ist meiner Meinung nach auf das Alter der Kinder zugeschnitten. Ich gehe davon aus, dass das Er­stellen der Bilder der Klasse Spaß macht und so eine positive Einstellung zum Fach Mathematik gefördert wird.

Die Erstellungsphase der Klecksbilder soll einigermaßen geordnet ablaufen. Deshalb habe ich vorgefaltete Papierblätter und Tintenpatronen mitgebracht. Bevor die Schülerinnen und Schüler sehr aktiv werden, halte ich es für erforder­lich, die Herstellung eines Klecksbildes an einem Bei­spiel der Klasse vorzuführen. So will ich vermeiden, dass zuviel Tinte verbraucht wird und sich die Kinder dadurch beschmutzen. Die offene Frage „Was fällt euch auf?“ (Erarbeitungsphase I) soll die Klasse auffordern, ihre Klecks­bilder zu untersuchen. Verschiedene Reaktionen sind denk­bar:

 

a)      Die Schülerinnen und Schüler beschreiben ihre Bilder und stellen Ähnlichkeiten zu Schmet­terlingen etc. fest. Dadurch wird deutlich, dass unterschiedliche Bilder entstanden sind. Ich werde nach einer Gemeinsamkeit fragen.

b)      Einige kennen den Begriff symmetrisch (aus der Grundschule vgl. [6]) und wenden ihn an oder beschreiben die Symmetrie in ihren Worten.

c)      Wenn der Begriff spiegelbildlich  fällt, werde ich nach der Spiegelachse fragen.

d)      Wenn der Klasse nichts auffällt, fordere ich die Schülerinnen und Schüler noch einmal auf, ihre Bilder zu zeigen.

 

In jedem Fall werde ich anschließend ein symmetrisches und ein unsymmetrisches Klecksbild in Großformat zeigen. Der überwiegende Teil der Klasse wird den Unterschied bzw. die Gemein­sam­keit ihrer Bilder erkennen. Ich werde die bisher unbekannten Begriffe achsensymmetrisch und Symmetrieachse nennen.  Es soll erkannt werden, dass die Faltachse das Bild in zwei Hälften teilt, die sich beim Auf­einanderklappen genau abdecken. Diese Beschreibung notiere ich an der Tafel (Sicherung I). Eine weiterge­hende Mathematisierung ist an dieser Stelle noch nicht nötig. Dafür müsste man einzelne Punkte des Klecksbildes herausgreifen. Allerdings wird das Klecksbild von der Klasse als Fläche gesehen und nicht als Ansammlung von Punkten. So vermeide ich, dass bei den Schülerinnen und Schülern aufgrund zu starker Abstraktion eine Abwehrhaltung entsteht (vgl. [7], S. 140 f.).

 

Daraufhin soll das Gelernte auf andere Figuren übertragen werden (Erarbeitungsphase II). Zu­nächst soll an der Tafel die Symmetrieachse einer offensichtlich achsensymmetrischen Figur ein­gezeich­net werden. Buchstaben sind ein schönes, außermathematisches Beispiel für achsensym­metrische Figuren. An Buchstabenbeispielen werden die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass es Sym­metrieachsen in verschiedenen Lagen gibt (z.B. mit horizontaler und vertikaler Achse) und Figuren mit mehreren Symmetrieachsen. In einer kurzen Übungsphase (als Sicherung) in Stillar­beit sollen die Schülerinnen und Schüler Symmetrieachsen in vorgegebene Figuren einzeichnen, um Sicherheit im Umgang mit Symmetrieachsen zu gewinnen.

In der nächsten Erarbeitungsphase III bekommt die Klasse einen Arbeitsbogen mit einer „unfer­tigen“ Figur, die zu einer achsensymmetrischen Figur ergänzt werden soll. Ein Klecksbild eignet sich hier nicht, da es kaum Ecken und damit wenig spezielle hervorstechende Punkte besitzt. Zur Aufgabenbewältigung soll aber der Zusammenhang zwischen symmetrischen Punkten erkannt werden. Im Lehrer-Schüler-Gespräch soll der Lösungsansatz für das Problem erarbeitet werden. Gruppenarbeit bietet sich hier wegen des hohen Zeitaufwandes zur Auswertung nicht an. Wenn keine Zeit mehr vor­handen ist, werde ich hier die Stunde beenden und die Figur als Hausaufgabe fertig stellen lassen.

Ansonsten gehe ich davon aus, dass in dieser Phase der bereits bekannte Begriff Ab­stand fallen wird. Dann kann der Zusammenhang symmetrischer Punkte an der Tafel zur Siche­rung III notiert werden. Zur Übung und Vertiefung erhalten die Kinder einen Arbeitsbogen mit zahlreichen Auf­gaben als Hausaufgabe.


Geplanter Stundenverlauf

 

Phase

Lehrer-Schüler-Aktivität

U-Form

Medien

Einstieg

L. verteilt Papier und Tinte und erklärt die Herstellungsweise eines Klecksbildes.

S. erstellen Klaecksbilder.

StA

Tinte, gefaltete Papierbögen

Erarbeitung I

L. Was fällt euch auf?

S. antworten.

L. Was haben die Bilder gemeinsam?

S. beschreiben Symmetrie.

L. zeigt ein symmetrisches und ein nichtsymmetrisches Klecksbild.

S. erklären, dass die eine Figur nicht hineinpasst.

LSG

Klecksbilder, Zwei DIN A2 – Klecksbilder

Sicherung I

L. nennt die Begriffe achsensymmetrisch und Symmetrieachse.

L. notiert Definition für Achsensymmetrie an der Tafel.

S. übertragen ins Heft.

L-Info

StA

Tafel, Heft

Erarbeitung II

L. hängt Bild einer achsensymmetrischen Figur an die Tafel.

Ein S. zeichnet Symmetrieachse ein.

L. notiert Buchstaben an der Tafel und fragt nach Symmetrieachsen.

S. antworten.

LSG

Tafel

Übung  Siche­rung II

S. bearbeiten Aufgabe auf dem Arbeitsbogen.

 

StA

AB

Erarbeitung III

L. hängt Bild einer „unfertigen“ Figur an die Tafel. (S. haben diese auf dem AB.)

L. Wie kann man diese Figur zu einer achsensymmetrischen Figur ergänzen?

S. machen Vorschläge.

L. Hilft das Geodreieck?

(Impulse: Spezielle Punkte werden markiert. L. Wo finden wir den entsprechenden Punkt auf der anderen Seite?)

Stundenende möglich (Aufgabe als HA)

S. nennen den Begriff Abstand.

LSGl

Figur auf DIN A2-Bogen,

AB

Sicherung III

L. notiert mathematischen Zusammenhang zweier Symmetriepunkte an der Tafel.

S. übertragen ins Heft.

StA

Tafel, Heft

Didaktische Reserve

S. bearbeiten Übungsaufgaben

StA

AB

 

 

 

Geplantes Tafelbild

 

Achsensymmetrische Figuren

Können wir das Bild einer Figur so falten, dass die eine Hälfte die andere genau überdeckt, so nennen wir die Figur achsensymmetrisch.

Die Faltachse heißt dann symmetrisch.

 

 

 

 

 

Symmetrische Punkte haben den gleichen Abstand von der Symmetrieachse.

 

 

 

Literatur

 

[1]        Ministerium für Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Hrsg.): Lehrplan für die Sekundarstufe I der weiterführenden allgemeinbildenden Schulen, Gymnasium-Mathematik. Kiel 1997.

[2]        H. Griesel, H. Postel:  Mathematik heute 5. Schuljahr. Schroedel Schulbuchverlag, Hannover 1985.

[3]        A. Schmid (Hrsg.): Lambacher Schweizer 5 (1. Auflage). Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1998.

[4]        G. Krewer u.a.: Mathematik 5. Westermann Schulbuchverlag, Braunschweig 1997.

[5]        H. Griesel, H. Postel:  Elemente der Mathematik 5. Schuljahr. Schroedel Schulbuchverlag, Hannover 1993.

[6]        Ministerium für Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Hrsg.): Lehrplan für die Grundschule Mathematik. (aus http://www.lernnetz-sh.de/lehrplan/primar/lp.htm).

[7]        F. Vester: Denken, Lernen, Vergessen, 27. Auflage. Deutscher Taschenbuchverlag, München 2000.



 

[2]  Die Einheit Geometrische Figuren und Körper II ist merkwürdigerweise nur für die Hauptschule in Klasse 8 vorgesehen (vgl. [1], S. 38). Dort ist allerdings keine weitere Vertiefung des Themas Symmetrie beschrieben. Auch in den anderen Schularten wird das Thema später nicht wieder aufgegriffen. Obwohl es für meine Begriffe viele Querverbindungen zu anderen geometrischen Themen gibt, sind im Lehrplan keine Hinweise darauf zu finden.

[3] Sowohl der Abstand zweier Punkte P und P‘, zweier Parallelen und zwischen einem Punkt P und einer Geraden g wurde vom Fachlehrer behandelt.

[4] Die Einheiten von Längen, Zeiten und Gewichten wurden eingeführt, Umwandlungen der Einheiten und Rechenaufgaben wurden geübt.